Nurhasanah

ALJABAR

 

aA.  Bentuk Aljabar

1.      Unsur-unsur bentuk aljabar

 Pada bentuk aljabar terdapat unsur-unsur sebagai berikut :

a.       Variabel atau pengubah adalah simbol-simbol yg mewakili suatu bilangan

b.      Koefisien adalah bilangan yg menyertai suatu variable

c.       Suku adalah bagian dari bentuk aljabar yg dipisahkan oleh tanda “+” atau “-“

1)      Suku konstan atau konstanta adalah suku yang tidak memuat variable

2)      Suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variable sama dan pangkat dari variable nya juga sama 

2.      Operasi bentuk aljabar

a)      Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar

Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar hanya dapat dilakukan pada suku suku sejenis

Contoh :

5x + 3y – 2x + y = (5x – 2x) + (3y + y)

                           = 3x + 4y

b)     Perkalian bentuk aljabar

1)      Perkalian suku satu dengan suku dua

Contoh : 3(2x – 5y) = 6x – 15y

2)      Perkalian suku dua dengan suku dua

Contoh dengan hukum distributif :

(2x + 3)(5x – 1)

= 2x(5x – 1) + 3(5x-1)

=10x² -2x + 15x – 3

 =10x² + 13x – 3

3)      Kuadrat suku dua

Bentuk umum hasil kuadrat suku dua

(x + y)² = x² + 2xy + y²

(x – y)² = x² – 2xy + y²

3.      Pemfaktoran bentuk aljabar

a.      Suku-suku dengan faktor yang sama

ax + ay = a(x + y)

Contoh :

5x + 10y = 5x + 5 x 2y = 5(x + 2y)

b.      Selisih bentuk kuadrat

x² – y² = (x + y)(x – y)

Contoh :

9x² – 16y² = (3x)² – (4y)² = (3x + 4y)(3x – 4y)

c.       Pemfaktoran bentuk x² + bx + c

x² + bx + c = (x + p)(x + q)

dengan syarat : p x q = c

                         p + q = b

d.      Pemfaktoran bentuk ax² + bx + c

ax² + bx + c =

dengan syarat : p x q = a x c

                         p + q = b

4.      Penyederhanaan Pecahan Bentuk Aljabar

        Cara menyederhanakan pecahan bentuk aljabar yaitu dengan memfaktorkan pembilang dan penyebut, lalu menghilangkan faktor yang sama

Soal

1.      Hasil dari (3x + 2)(2x - 5) adalah …

2.      Hasil pengurangan -3(2p + 1) dari p + 5 adalah …

3.      (2x + 3)(5x – 1) =

4.      Hasil dari  X  

5.      Bila a = 5 dan b = 3, maka nilai -2a²b – ab² adalah ...

Fera anggraeni

Relasi dan fungsi 

A.  Relasi

1.      Pengertian  relasi

Relasi dari himpunan a ke himpunan b adalah hubungan yg memasangkan anggota a dengan anggota b.

Relasi dapat dinyatakan dengan diagram panah, diagram cartesius dan himpunan pasangan berurutan.

2.      Menyatakan relasi

a.      Diagram panah

1. Himpunan E sebagai domain (daerah asal) diletakkan di sebelah kiri, dan himpunan F sebagai kodomain (kodomain) diletakkan di sebelah kanannya. Relasi antara himpunan E dan F ditunjukkan dengan arah panah. Seperti gambar di bawah ini

b.      Diagram cartesius

Dimana anggota himpunan a sebagai himpunan pertama berada pada sumbu        mendatar (horizontal) dan anggota himpunan b sebagai himpunan kedua berada pada sumbu tegak (vertikal). Setiap pasangan anggota himpunan pertama yang berelasi dengan anggota himpunan kedua dinyatakan dengan sebuah noktah ().

Berikut adalah contoh relasi yg dinyatakan dengan diagram cartesiusnya seperti di bawah ini:

  

c.      Himpunan pasangan berurutan

Jika x elemen E dan y elemen F, maka relasi dari E ke F dapat dinyatakan dengan pasangan berurutan (x, y). Dari diagram panah di atas dapat dituliskan himpunan pasangan berurutannya sebagai berikut: {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 4), (2, 6), (3, 4), (3, 6), (4, 6), (5, 6)}.

B.  Fungsi atau pemetaan

1.      Pengertian fungsi atau pemetaan

Fungsi atau pemetaan dari himpunan a ke himpunan b adalah relasi yang memasangkan setiap anggota a dengan tepat ke satu anggota b. tepat kesatu artinya tidak boleh lebih dan tidak boleh kurang dari satu.

Himpunan A disebut daerah asal (domain)

Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain)

Himpunan dari anggota himpunan b yang mempunyai pasangan di a disebut daerah hasil (range).

Misalkan diketahui himpunan A dan B dengan n(A) = a dan n(B) = b

a.       Banyak pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B = b^a

b.      Banyak pemetaan yang mungkin dari himpunan B ke himpunan A = Ab

C.  Korespondensi satu-satu 

              

Himpunan A dikatakan berkorespondensi satu-satu dengan himpunan B jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B dan setiap anggota B dipasangkan dengan tepat satu anggota A. Dengan demikian, banyak anggota A dan B haruslah sama

D.  Rumus Fungsi      1.       Merumuskan Suatu Fungsi          Suatu fungsi yang dinyatakan dengan aturan tertentu umumnya diberi nama dengan menggunakan huruf latin kecil, misalnya f,g,h atau huruf lainnya. Jika fungsi f memetakan setiap x anggota himpunan A ke y anggkota himpunan B,maka dapat ditulis sebagai f : x  y            Bentuk f : x  y dibaca : fungsi f memetakan x ke y. Dalam hal ini y disebut bayangan (peta) dari x oleh f Contoh : h : x  2x2, rumus fungsinya adalah h(x) = 2x2 – 1      2.      Variabel bebas dan variabel bergantung          Suatu fungsi f dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan, yaitu {(x, f(x))|xD} dengan D sebagai domain (daerah asal) fungsi f. Jika D merupakan himpunan bagian dari R (himpunan bilangan real atau nyata), maka himpunan pasangan berurutan pada fungsi f dapat dinyatakan dengan {(x,y)|y = f(x), x  R}              Jika nilai variabel x berubah, maka nilai variabel y juga berubah. Dengan demikian, nilai y selalu bergantung pada nilai x. Oleh karena itu, x disebut variabel bebas dan y disebut variabel bergantung. E.  Nilai fungsi    1.   Menghitung nilai suatu fungsi         Jika fungsi f memetakan x  3x – 2, maka fungsi f dapat dinyatakan dalam bentuk rumus fungsi,yaitu f(x) = 3x – 2. Dengan menggunakan rumus fungsi, dapat diperoleh nilai-nilai fungsi tersebut untuk setiap nilai x yang diberikan. Caranya dengan mensubtitusikan (mengganti) nilai x pada rumus fungsi tersebut sehingga diperoleh nilai f(x) Contoh : Suatu fungsi didefinisikan dengan rumus h(x) = -2x + 3 Tentukan : a.       h(3) b.      nilai a jika h(a) = -7! Jawab: a.       h(3) = -2(3) + 3         = -6+3 = -3 b.      h(a) = -7 h(a) = -2a + 3 -2a + 3 = -7       -2a = -7 – 3       -2a = -10          a =  = 5    2.  Menentukan bentuk fungsi      Untuk menentukan bentuk fungsi jika diketahui nilai dan data fungsi, dapat dilakukan dengan menggunakan rumus umum fungsi, yaitu f(x) = ax + b (untuk fungsi linear) sehingga terbentuk persamaan dalam a dan b dengan cara mengganti nilai variabel x a.       Soal       1.      Diketahui fungsi f(x) = 3x + 5. Hasil dari f (2a-2) adalah ….       2.      Diketahui A = {1,2,3} dan B {a,b,c,d} banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah …       3.      Himpunan pasangan berurutan pada pemetaan f : x  x + 1 dari himpunan {0,1,2,3,4} ke himpunan bilangan cacah adalah…       4.      Suatu fungsi didefinisikan dengan rumus f(x) = ax + b. Jika diketahui f(3) = 15 dan f(5) = 20 ,tentukan : a.       Nilai a adan b b.      Bentuk fungsinya c.       f(-2)!       5.      Pada fungsi g : x  px + q, diketahui g(3) = 5 dan g(1) = -3. Hitunglah : a.       Nilai p dan q b.      Bentuk fungsinya c.       g(-6)!